Найдите значение выражения $frac{a}{b}+ frac{b}{a}$ ,где a и b - соответственно наибольший и наименьший корни уравнения $x^3-7x^2+7x=1$

Question

Алгебра 10 - 11 классы

Артемий 01.05.19

Решено

Найдите значение выражения $frac{a}{b}+ frac{b}{a}$ ,где a и b - соответственно наибольший и наименьший корни уравнения $x^3-7x^2+7x=1$

94

ОТВЕТЫ

$x^3-7x^2+7x=1\ \ (x-1)(x^2+x+1)-7x(x-1)=0\ \ (x-1)(x^2-6x+1)=0\ \ x_1=1\ \ x^2-6x+1=0;~~~~~~~~ (x-3)^2=8\ \ x-3=pm2 sqrt{2} ;~~~~~ x_{2,3}=3pm2sqrt{2}$

$displaystyle frac{a}{b}+ frac{b}{a} = frac{3+2sqrt{2} }{3-2sqrt{2} } + frac{3-2sqrt{2} }{3+2sqrt{2} } = frac{(3+2sqrt{2} )^2+(3-2sqrt{2} )^2}{9-8} =\ \ \ =9+6sqrt{2} +8+9-6sqrt{2} +8=34$

$x^3-7x^2+7x=1amp;#10;\(x^3-1)-7x(x-1)=0amp;#10;\(x-1)(x^2+x+1)-7x(x-1)=0amp;#10;\(x-1)(x^2+x+1-7x)=0amp;#10;\(x-1)(x^2-6x+1)=0amp;#10;\x_1=1amp;#10;\x^2-6x+1=0amp;#10;\D=36-4=32=(4sqrt{2})^2amp;#10;\x_2 frac{6+4sqrt{2}}{2} =3+2sqrt{2}amp;#10;\x_3=3-2sqrt{2}$
определим наибольший и наименьший корень(возведем в квадрат):
$1 ; 3+2sqrt{2} ; 3-2sqrt{2}amp;#10;\1 ; 17+12sqrt{2} ; 17-12sqrt{2}$
отсюда:
$a=3+2sqrt{2}amp;#10;\b=3-2sqrt{2}$
вычисляем значение выражения:
$frac{a}{b}+ frac{b}{a} = frac{a^2+b^2}{ab} = frac{(3+2sqrt{2})^2+(3-2sqrt{2})^2}{(3-2sqrt{2})(3+2sqrt{2})} = frac{17+12sqrt{2}+17-12sqrt{2}}{1} =17+17=34$
Ответ: 34

155

Отв. дан 2019-01-05 09:48:27 Thowyn

Найдите значение выражения ,где a и b - соответственно наибольший и наименьший корни уравнения

Другие вопросы в разделе - Алгебра

Найдите значение выражения $frac{a}{b}+ frac{b}{a}$ ,где a и b - соответственно наибольший и наименьший корни уравнения $x^3-7x^2+7x=1$