Докажите, что $frac{a^{2}+2}{sqrt{a^2+1}} geq 2$

Question

Алгебра 5 - 9 классы

Pagapnap 01.22.19

Решено

Докажите, что $frac{a^{2}+2}{sqrt{a^2+1}} geq 2$

139

ОТВЕТЫ

$dfrac{a^2+2}{sqrt{a^2+1}} geqslant2$

Пусть $sqrt{a^2+1}=t$ , тогда $a^2+1=t^2$ .

Заменим в исходном неравенстве введённые переменные:
$dfrac{t^2+1}{t} geqslant2 \ \ dfrac{t^2-2t+1}{t} geqslant0 \ \ dfrac{(t-1)^2}{t} geqslant 0 \$

Мы получили неравенство, верное при всех значениях $t$ , потому что в числителе — квадрат (всегда неотрицательный), а в знаменателе $t$ — квадратный арифметический корень (также неотрицателен).

$dfrac{a^2+2}{ sqrt{a^2+1} } geq 2$

ОДЗ:
$a^2+1 geq 0 \ a^2 geq -1$
верно для любого a.

Ограничений нет, а значит руки у нас развязаны. Домножим все неравенство на $sqrt{a^2+1}$ .
$a^2+2 geq 2 sqrt{a^2+1} \ a^4+4a^2+4 geq 4a^2+4 \ a^4 geq 0$
верно для любого a

Все, доказали.

111

Отв. дан 2019-01-22 06:11:42

Докажите, что

Другие вопросы в разделе - Алгебра

Докажите, что $frac{a^{2}+2}{sqrt{a^2+1}} geq 2$