На доске написаны числа от 11 до 999. Вася стёр все числа, имеющие две одинаковые цифры и все двузначные числа, кратные 10. Докажите, что сумма оставшихся чисел кратна 37.
67
ОТВЕТЫ
На доске остались все числа вида 100х+10у+z, где (х,у,z) - всевозможные упорядоченные тройки различных цифр от 0 до 9. Среди цифр от 0 до 9 можно выбрать три различных цифры С³₁₀=8*9*10/3!=120 способами. Любую такую непорядоченную тройку различных цифр х, у, z можно упорядочить 6 различными способами и получить 6 различных чисел:
100х+10у+z
100х+10z+y
100y+10x+z
100y+10z+x
100z+10x+y
100z+10у+x
Сумма этих чисел равна 2(х+у+z)(100+10+1)=37*6*(x+у+z), т.е. делится на 37. Поскольку это верно для любой (неупорядоченной) тройки различных цифр, то и вся сумма делится на 37.
100х+10у+z
100х+10z+y
100y+10x+z
100y+10z+x
100z+10x+y
100z+10у+x
Сумма этих чисел равна 2(х+у+z)(100+10+1)=37*6*(x+у+z), т.е. делится на 37. Поскольку это верно для любой (неупорядоченной) тройки различных цифр, то и вся сумма делится на 37.
16
Отв. дан
Ярослава
Для написания вопросов и ответов необходимо зарегистрироваться на сайте
Другие вопросы в разделе - Алгебра
Drelariel
С одного опытного участка собрали 6 4/5 т. пшеницы, ...
2018-09-23 00:00:00
Andromasius
Выпиши из текста побудительное восклицательное предложение Бурундук сидел на ...
2018-09-23 00:00:00
Gholbirgas
Скласти 3 речення які залежно від інтонації можуть мати ...
2018-09-23 00:00:00
Modinadar
Найдите число при делении которого на 19 в неполном ...
2018-09-23 00:00:00