Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 50. Реши, при каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим

Из условии 3a₂+a₄ = 50

Воспользовавшись формулой n-го члена арифметической прогрессии, имеем

3(a₁ + d) + a₁ + 3d = 50

3a₁ + 3d + a₁ + 3d = 50

4a₁ + 6d = 50

2a₁ + 3d = 25

Оттуда с последнего равенства выразим a₁:

a₁ = (25 - 3d)/2

a₃ * a₅ = (a₁ + 2d)(a₁ + 4d) - min,

Рассмотрим функцию:

ƒ(d) = ((25 - 3d)/2 + 2d)((25 - 3d)/2 + 24d) = 1/4(25- 3d + 4d)(25 - 3d + 8d) = 1/4(d + 25)(5d + 25) = 1/4(5d² + 150d + 625) = 5d²/4 + 75d/2 + 625/4

Производная функции:

ƒ(d) = (5d²/4 + 75d/2 + 625/4) = 5d/2 + 75/2

ƒ(d) = 0; 5d/2 + 75/2 = 0

d = -15 точка минимума