Исследуйте функцию (найти наибольшее и наименьшее значение заданной функции на отрезке [-1;5], найдите точки экстремумов функции, укажите промежутки возрастания и убывания функции)

Дана функция y = x³ - 9x² + 24x - 1

Найдем производную: x³ = 3x²; 9x² = 18x; 24x = 24; -1 = 0

Получаем: y = 3x² - 18x + 24 = 3(x² - 6x + 8).

Сократим и приравним к 0: 3(x² - 6x + 8) = 0

x² - 6x + 8= 0.  

Дискриминант = 36 - 32 = 4.  

x₁ = (6+2)/2 = 4

x₂ = (6-2)/2 = 2

У функции 2 критических точки:  

x₁ = 2

x₂ = 4

Находим знаки производной на полученных промежутках.

x = 1 2 3 4 5

y = 9 0 -3 0 9

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.

Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

Минимум функции в точке

x = 2,

у = 19

Максимум в точке

x = 4 

у = 15

Возрастает на промежутках (-∞; 2) и (4; +∞)

Убывает на промежутке (2; 4)

На заданном промежутке [-1; 5] минимум будет в точке

х = -1

у = -35

а максимум в точке

x = 2

y = 19