Даны четыре точки А1(3,1,4), А2(–1,6,1), А3(–1,1,6), А4(0,4,–1).
Составить уравнения:
а) плоскости А1,А2,А3;
б) прямой А1,А2;
в) прямой А4М перпендикулярной плоскости А1А2А3;
г) прямой А3N параллельной плоскости А1А2;
д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярную к прямой А1А2;
Вычислить :
е) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
ж) косинус угла между координатной плоскостью xOy и плоскостью А1А2А3.
Огромное спасибо !!!!
Если можно чертеж тоже.

Даны четыре точки A1(3,1,4), A2(–1,6,1), A3(–1,1,6), A4(0,4,–1).

Составить уравнения:

а) плоскости A1,A2,A3;

если N (A;B;C) - вектор-нормаль плоскости, а точка M0(x0;y0;z0) лежит на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по формуле:

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0

Т.к. векторное произведение - это вектор ортогональный векторам в произведении, то в качестве вектор-нормали плоскости можно взять векторное произведение любых неколлинеарных векторов лежащих на плоскости.

AB×AC=N

Вычислим N - вектор-нормаль плоскости, т.е. векторное произведение AB×AC Для этого найдем координаты векторов AB и AC

AB=(−1−3;6−1;1−4)=(−4;5;−3)

AC=(−1−3;1−1;6−4)=(−4;0;2)

Вычисление N=AB×AC

a×b=(5⋅2+0⋅(−3);−3⋅(−4)−2⋅(−4);−4⋅0+4⋅5)=(10;20;20)

N=(10;20;20)

Подставим в формулу найденные числа и раскроем скобки:

10(x−3)+20(y−1)+20(z−4) = 0

10x+20y+20z−130 = 0

x+2y+2z−13 = 0

Ответ: x+2y+2z−13=0

б) прямой A1,A2;

x - xa/xb - xa = y - ya/yb - ya = z - za/zb - za

(x - 3)/((-1) - 3) = (y - 1)/(6 - 1) = (z - 4)/(1 - 4)

(x - 3) /(-4 = (y - 1)/( 5)= (z - 4)/( -3)

AB = xb - xa; yb - ya; zb - za} = -1 - 3; 6 - 1; 1 - 4} = -4; 5; -3}

В итоге получено параметрическое уравнение прямой:

x = - 4t + 3

y = 5t + 1

z = - 3t + 4