Доказать что векторы е1 е2 е3 образуют базис и найти координаты вектора Х в этом базисе.
Х=(-4,-2,5)
е1=(1,-1,1)
е2=(-3,0,2)
е3=(1,-1,2)

Даны векторы e1(1;-1;1), e2(-3;0;2), e3(1;-1;2), X(-4;-2;5). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.

Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.

Вычислим определитель матрицы:

∆ = 1*(0*2 - (-1)*2) - (-3)*((-1)*2 - (-1)*1) + 1*((-1)*2 - 0*1) = -3

Определитель матрицы равен ∆ =-3

Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1, α2, α3, что имеет место равенство:

X = α1e1 + α2e2 + α3e3

Запишем данное равенство в координатной форме:

(-4;-2;5) = α(1;-1;1) + α(-3;0;2) + α(1;-1;2)

Используя свойства векторов, получим следующее равенство:

(-4;-2;5) = (1α1;-1α1;1α1;) + (-3α2;0α2;2α2;) + (1α3;-1α3;2α3;)

(-4;-2;5) = (1α1 -3α2 + 1α3;-1α1 + 0α2 -1α3;1α1 + 2α2 + 2α3)

По свойству равенства векторов имеем:

1α1 -3α2 + 1α3 = -4

-1α1 + 0α2 -1α3 = -2

1α1 + 2α2 + 2α3 = 5

Решаем полученную систему уравнений методом Крамера.

Ответ: X = 3e1 + 2e2 - e3