Якими мають бути сторони прямокутника з площею 144 см^2 щоб його периметер набув найменшого значення

Question

Математика 10 - 11 классы

Артём 03.14.19

Решено

Якими мають бути сторони прямокутника з площею 144 см^2 щоб його периметер набув найменшого значення

Нехай а см - одна сторона прямокутника ,тоді друга дорівнює

81

ОТВЕТЫ

Нехай а см - одна сторона прямокутника ,тоді друга дорівнює $frac{144}{a}$ см.
Периметр $P(a)=2*(a+frac{144}{a})$

Розглянемо функцію $f(x)=2(x+frac{144}{x}); xgt;0$
$f(x)=2(1-frac{144}{x^2})$
шукаємо критичні точки
$f(x)=0; 2(1-frac{144}{x^2})=0$
$x^2=144$
$x_1=-sqrt{144}=-12lt;0$ - не підходить
$x_2=sqrt{144}=12$
точка 12 розбиваємо промінь $(0;+infty)$ на два проміжки знакосталості (0;12) і $(12;+infty)$

(0;12) для наприклад точки x=1; $f(1)=2*(1-frac{144}{1^2})=2*(-143)lt;0$ - значить на цьому проміжку функція f(x) спадає
$(12;+infty)$ для наприклад x=24; $f(x)=1-frac{144}{24^2}=2*(1-0.25)=2*0.75gt;0$ - значить на цьому проміжку функція f(x) зростає
звідси $x=12$ - точка локального мінімуму,
значить функція $f(x)=2(x+frac{144}{x})$ у точці х=12 приймає найменшого значення

а значить найменший периметр буде у прямокутника зі сторонами
a=12, S=144/a=144/12=12
відповідь: 12 см, 12 см

249

Отв. дан 2019-03-14 07:20:21 Analune

Якими мають бути сторони прямокутника з площею 144 см^2 щоб його периметер набув найменшого значення

Другие вопросы в разделе - Математика